Lens Simulator: Lässt sich das Bokeh eines Objektivs berechnen?

Das Bokeh bezeichnet in der Fotografie bekanntermaßen die besonderen Eigenschaften eines Objektivs bei der Abbildung von Gegenständen außerhalb der fokussierten Ebene.

Im Gegensatz zum Schärfeverhalten gibt es dafür aber kaum etablierte Kennzahlen. Physikalisch lässt sich die Unschärfe genauso beschreiben wie die Schärfe – ob das Bokeh gefällt, ist dagegen eine ästhetische Frage, die sich nicht ausrechnen lässt. Während für die Beurteilung der Schärfe üblicherweise die Kontrastübertragung von Linienpaaren untersucht und in MTF-Charts dargestellt wird, gibt es für das Unschärfeverhalten wenig Vergleichbares.

Das liegt in der Natur der Sache – für die Schärfebeurteilung genügt es, eine zweidimensionale Ebene mit möglichst starken Kontrasten zu untersuchen, beispielsweise indem man einen Siemensstern fotografiert. Bei der Untersuchung der Unschärfe dagegen kommt es darauf an, wie Objekte im Raum abgebildet werden und wie sich die Zerstreuungskreise, die durch die unscharfe Abbildung einzelner Punkte entstehen, mit anderen Zerstreuungskreisen überlagern. Der einzelne Zerstreuungskreis lässt sich zwar auch für eine Ebene untersuchen. Um aber zu beurteilen, wie ein Objektiv in einer fotografischen Szene wirkt, braucht es einen dreidimensionalen Raum: verschiedene Entfernungen vor und hinter der Schärfe, an verschiedenen Stellen im Bild.

Vor ein paar Jahren wollte ich wissen, ob man aus dem Charakter eines einzelnen Zerstreuungskreises, also der unscharfen Abbildung eines Lichtpunktes außerhalb der fokussierten Ebene, das Bokeh simulieren kann. Hierzu habe ich die mathematische Faltung (Konvolution) genutzt, die auch bei softwareseitigen Weichzeichnern eingesetzt wird. Typischerweise wird dabei ein Zerstreuungskreis mit einer gaußschen Helligkeitsverteilung (stark mittenbetont) verwendet – daher der Name „Gaussian Blur“.

Die Verteilung habe ich dann variiert – zu einer gleichmäßig beleuchteten Scheibe oder zu einem Kreis mit hellem Rand, wie er beim Trioplan mit seinem Seifenblasen-Bokeh auftritt.

Ich konnte je nach Helligkeitsverteilung ein anderes Bokeh erzeugen – ein schönes Ergebnis, aber leider in seiner Aussagekraft beschränkt, denn es fehlte die dritte Dimension: Mein simples Modell hat lediglich die Unschärfe einer Ebene berücksichtigt und außerdem einen einheitlichen Zerstreuungskreis für alle Bildpunkte angenommen. In der Realität aber ändert sich dieser zum Rand und zu den Ecken hin und kann dort elliptische, sichel- oder katzenaugenartige Formen annehmen. In diesen Fällen können sich schöne Wirbeleffekte in den Unschärfen ergeben, wie beim Biotar.

Ausgehend von dieser Simulation untersuchte ich dann meine klassischen 50-mm-Objektive hinsichtlich ihres Bokehs und machte dazu Vergleichsaufnahmen in unserem Garten. Ich suchte mir eine Position, bei der ich eine angemessene Staffelung von Dingen und eine kontrastreiche Lichtsituation vorfand. Schon das allein war nicht leicht, denn es sind gerade die Übergänge von Schärfe zu Unschärfe, die entscheiden, ob das Bokeh harmonisch und ruhig oder unruhig wirkt.

Lens Simulator

Vor kurzem erhielt ich eine Nachricht zu meinem Bokeh-Vergleich der 50-mm-Objektive; sie stammte von Peter Wey, der einen Simulator gebaut hat, mit dem sich die dritte Dimension erschließen lässt. Sein Aufbau beruht nicht auf der Konvolution mit einem Kernel, sondern auf einem Raytracing-Ansatz. Es wird also eine dreidimensional modellierte Welt virtuell fotografiert, indem, wie beim 3D-Rendering üblich, die Strahlengänge verfolgt werden.

Link: lenssimulator.photo

In vielen Echtzeit-Renderern, etwa in Computerspielen, durchläuft der Strahlengang allerdings kein virtualisiertes optisches System, sondern nur ein Loch (Pinhole) wie bei einer Lochkamera. Das ist schnell zu berechnen, zeichnet aber alles scharf. Die Unschärfe wird dann nachträglich berechnet, indem für jeden Bildpunkt die Entfernung zum abgebildeten Punkt mitgespeichert wird, aus der sich dann die Größe eines Zerstreuungskreises ergibt. Simpel und schnell, aber ungenau. Viele Raytracer verwenden stattdessen ein ideales Dünnlinsenmodell und berechnen die Unschärfe direkt beim Verfolgen der Strahlen. Das ist für eine ideale Linse korrekt, kennt aber keine Abbildungsfehler und damit keinen Objektivcharakter. Der Lens Simulator bietet eine solche ideale Optik ebenfalls an, zum Vergleich mit den realen Objektivkonstruktionen.

Im Aufbau von Peter Wey durchlaufen die Strahlen das Linsensystem des Objektivs. Bei jedem Strahl wird für jede Linse des optischen Systems anhand des Brechungsindexes des Glases die Ablenkung berechnet – für die drei Grundfarben separat. Ebenfalls wird die Blendenöffnung mitberücksichtigt. Das Ergebnis ist ein Bild, in welchem sich viele Eigenschaften des Objektivcharakters wiederfinden: die Bildfeldwölbung, die Verzeichnung, die Vignettierung und auch die chromatische Aberration (Farbsäume). Für das Bokeh besonders wichtig sind außerdem die Form der Blendenlamellen, die katzenaugenförmigen Lichtpunkte zum Bildrand hin und die Überstrahlung durch sphärische Aberration bei Offenblende. Auch das Focus Breathing, also die Änderung des Bildwinkels beim Fokussieren, wird sichtbar.

Bei den Objektivmodellen gibt es allerdings eine Grenze: Eine Patentschrift ist noch keine Vermessung eines konkreten Serienobjektivs. Peter Wey weist auf der Methodenseite selbst darauf hin, dass die Zuordnung und Berechnung Fehler enthalten können und dass die veröffentlichte Konstruktion vom tatsächlich verkauften Objektiv abweichen kann, vor allem im Nahbereich. Eigenschaften wie Vergütung, Fertigungstoleranzen oder die Oberflächenstruktur gepresster Asphären sind ebenfalls nicht enthalten. Die Ergebnisse zeigen deshalb zunächst die Abbildung des jeweiligen Patentmodells. Wie gut sie ein bestimmtes käufliches Objektiv wiedergeben, müsste durch passende Aufnahmen oder Messungen geprüft werden.

Ich hatte letzte Woche mehrfach Austausch mit Peter Wey: per E-Mail, als er mich (wie vermutlich auch einige andere) nach meiner Einschätzung zu seinem Tool fragte, und in einem Telefonat.

Mit seiner Kontaktaufnahme hat Peter Wey bei mir offene Türen eingerannt, denn genau ein solches System ist die logische Fortsetzung meiner simplen Bokeh-Simulationen mit Konvolutionskerneln in einer Ebene.

Mit dem Lens Simulator zu spielen ist wirklich interessant, denn es sind viele relevante Objektive anhand von Patentschriften modelliert und in das System integriert worden.

Meine Testszene im Garten von vor ungefähr vier Jahren kann ich heute nicht mehr unverändert herstellen. Pflanzen wachsen, Gegenstände stehen anders, und auch die Beleuchtung lässt sich nur begrenzt wiederholen. Hier liegt eine Stärke des Lens Simulators: Dieselbe virtuelle Situation steht immer wieder zur Verfügung. Ich kann sie mit anderen Objektivmodellen, Blenden, Abständen und Kamerawinkeln untersuchen. Einzelne Parameter lassen sich gezielt verändern, während die übrigen Bedingungen gleich bleiben.

Eine Vergleichsfunktion ist auch im Simulator eingebaut – man kann zwei Objektive miteinander vergleichen und dabei die Grundeinstellungen (Position und Richtung der Kamera im Raum) identisch halten. Alle Einstellungen stecken dabei in der Adresse der Seite. Ein Vergleich lässt sich so als Link speichern und weitergeben, etwa dieser Vergleich des Biotar mit einer idealen 75-mm-Optik.

Bei unserem Telefonat haben wir auch über ein Thema gesprochen, das technisch bedingt ist: Im Lens Simulator lässt sich die Kamera frei im Raum bewegen, Änderungen an Blende und Fokusabstand sind nur einen Sliderklick entfernt. Aber jede Parameteränderung führt zu einem Neustart des Renderings. Erst ab einer bestimmten Menge von Strahlberechnungen offenbart sich der Charakter der Optik. Diese beiden Geschwindigkeiten – das schnelle Navigieren im Raum und der langsame Bildaufbau – passen nicht recht zusammen. Bei einer realen Kamera kann ich das Bild sofort beurteilen – bei einer spiegellosen Systemkamera direkt im Sucher, bei einer Spiegelreflexkamera zumindest annähernd über die Abblendtaste. Hier ist es so, als würde ich ein Foto mit Langzeitbelichtung machen, so dass ich erst nach der Aufnahme das Ergebnis prüfen und dann den Kamerastandpunkt anpassen kann. Die Analogie ist eigentlich ganz charmant – denn wie im realen fotografischen Leben wird ja tatsächlich das Bild im Lens Simulator Strahl für Strahl belichtet.

Mein Vorschlag wäre, dem Nutzer vorbereitete Einstiege mit vorberechneten Bildern zu bieten, jeweils mit einer Kameraposition, welche die Eigenschaften des Objektivs besonders deutlich macht. Das wäre das Analogon zu meinem Versuchsaufbau mit den 50ern im Garten.

Vielleicht lässt sich das Verfahren auch verbessern, wenn man versucht, aus den bereits berechneten Daten eines Bildes einen Anteil für die geringfügig veränderte Einstellung zu verwenden. Wenn sich die Kamera im Raum nicht bewegt und sich nur die Fokussierung oder die Blende ändert, bleibt das Licht, das auf das Vorderglied des optischen Systems trifft, ja gleich und könnte wiederverwendet werden – ähnlich wie bei einer Lichtfeldkamera, bei der sich Fokus und Blende nachträglich wählen lassen. Am einfachsten wäre das beim Abblenden: Die Strahlen der kleineren Blende sind eine Teilmenge der bereits berechneten – man müsste nur die aussortieren, die außerhalb der kleineren Öffnung liegen. Es bleiben dann allerdings weniger Strahlen übrig, das Bild rauscht anfangs stärker.

Für mich stellt sich vor allem die Frage, welche konkrete Aufnahmesituation, also welche 3D-Welt und welche Kameraposition, am besten die Eigenschaften eines Objektivs hervortreten lässt. Im Lens Simulator sind vier verschiedene Welten hinterlegt, zwischen denen man wechseln kann. Drei Szenen enthalten modellierte Personen von Renderpeople, die vierte hat Peter Wey selbst per Fotogrammetrie modelliert: ein Eichhörnchen (als Plüschtier) im Wald.

Bei der Fotogrammetrie erzeugt man mit einer Software ein 3D-Modell aus Fotos: Man fotografiert ein Objekt oder eine Szene aus möglichst vielen Blickwinkeln, das Programm berechnet daraus das Modell. Die Welt darf sich dabei nicht verändern, sonst ist die Software nicht in der Lage, die Bezugspunkte korrekt zu verorten – deswegen auch das Plüschtier. Ein lebendiges Eichhörnchen hätte für diese Aufgabe vermutlich wenig Geduld mitgebracht. Die Geschichte zeigt, wie viel Arbeit bereits in der Testumgebung steckt, bevor ein Strahl durch ein virtuelles Objektiv gerechnet wird.

Im Vergleich zu den Szenen mit den Personen von Renderpeople sieht die Waldszene noch am fotografischsten aus. Das ist ein Problem der künstlichen 3D-Welten – sie wirken nicht echt. In 3D-Spielen muss die Welt nicht zu 100 % echt aussehen, denn durch die Interaktion kommen andere Erfahrungswerte hinzu, welche die Welt als physisch plausibel erlebbar machen. Ein Foto bzw. ein Raytracing-Bild dagegen muss für sich allein wirken und wird immer auch nach ästhetischen Gesichtspunkten beurteilt. Je näher man an der Realität dran ist, umso stärker wird die Unvollkommenheit wahrgenommen – das beschreibt zumindest die Hypothese des „Uncanny Valley“, die der Robotiker Masahiro Mori 1970 aufgestellt hat und die in der Wahrnehmungspsychologie viel untersucht wurde.

Ein dreidimensionaler Siemensstern

Aus der Beschäftigung mit dem Lens Simulator entstand schließlich eine eigene Untersuchung: Lässt sich der Wirbeleffekt klassischer Objektive nicht nur simulieren, sondern auch mit einer Kennzahl beschreiben?

Ich habe viel über das Verfahren von Peter Wey nachgedacht. Mein ursprünglicher Ansatz mit dem Kernel war natürlich sehr simpel, eine Knobelei für ein oder zwei Wochenenden (aus der Zeit vor der KI-gestützten Softwareentwicklung).

Die Frage, die sich mir nun stellt: So schön der explorative Ansatz des Lens Simulators auch ist, mir würde eigentlich eine kuratierte Auswahl reichen. Doch welche 3D-Welt eignet sich am besten? Gibt es so etwas wie ein 3D-Testchart?

Ich habe mich auf die Suche gemacht und bin mit Claude experimentieren gegangen. Zur Arbeitsteilung: Die Fragestellung, die Richtung und die Bewertung der Ergebnisse kamen von mir, die Testszenen haben wir im Wechsel vorgeschlagen. Den Code dafür – die Strahlrechnung durch die Linsen des Patents, den Raytracer, die Testszenen, die Kennzahlen und Diagramme – hat Claude geschrieben und die Berechnungen durchgeführt. Ich habe die Ergebnisse geprüft, hinterfragt und an vielen Stellen nachbessern lassen.

Als Erstes habe ich mein ursprüngliches Verfahren der Konvolution verändert. Ein Schwachpunkt war ja, dass ich einen statischen Kernel verwendet hatte, der überall – im Zentrum wie in den Ecken – denselben Zerstreuungskreis erzeugt.

Stattdessen habe ich einen adaptiven Kernel eingesetzt, der zu den Ecken hin abgeschnitten wird. Das Ergebnis war schon ganz brauchbar. In einem Folgeschritt habe ich die Zerstreuungskreise dann nicht mehr willkürlich abgeschnitten, sondern über das Linsensystem des Biotar berechnet: aus den Daten der Patentschrift DE485798 von 1927 – derselben, die auch der Lens Simulator für das Biotar 75 mm verwendet. Das Patent beschreibt ein Biotar 1:1,4 mit 100 mm Brennweite; für alle folgenden Rechnungen habe ich es auf 58 mm skaliert, die Brennweite des bekannten Biotar 2/58 an Kleinbild. Gerechnet wird Fläche für Fläche, für Rot, Grün und Blau getrennt. Damit habe ich zumindest eine brauchbare Nachbildung des Bokehs für eine Ebene.

Eine Überraschung dabei: Der Wirbel entsteht nach dieser Rechnung nur zum Teil dadurch, dass die Fassungen die Lichtbündel am Bildrand beschneiden – das ergibt Katzenaugen mit harter Kante und kostet Licht. Im mittleren Bildbereich stammt er fast ganz, in den Ecken etwa zur Hälfte aus einem Abbildungsfehler, der schiefen sphärischen Aberration: Bei schräg einfallenden Lichtbündeln vereinigen sich die Strahlen in Richtung Bildmitte und quer dazu nicht in derselben Entfernung. Für schmale Bündel kennt man das als Astigmatismus – beim Biotar ist dieser Anteil aber klein. Der Unterschied wächst stark mit der Blendenöffnung: Bei f/2 ist er für die äußeren Strahlen fünf- bis neunmal so groß wie für die inneren. Dieser mit der Öffnung wachsende Anteil heißt schiefe sphärische Aberration; in der Strahlrechnung lässt er sich vom Astigmatismus trennen. Der Zerstreuungskreis wird dadurch nicht beschnitten, sondern zur Ellipse gestreckt, sein Helligkeitszentrum bleibt in der Mitte – anders als bei der Koma, die das Licht einseitig zu einem Kometenschweif verschiebt. Und vor der Schärfeebene sind die Zerstreuungskreise anders gestreckt als dahinter: zur Bildmitte hin statt quer dazu.

Der Folgeschritt war dann, mich auch am Raytracing zu versuchen. Mein Ziel ist dabei nicht, einen interaktiven Simulator à la Peter Wey zu bauen, sondern bestimmte 3D-Szenen darauf zu untersuchen, ob sie sich als generische Teststellung eignen. Ein Balkengitter – mehrere Zäune hintereinander – brachte wenig augenscheinliche Erkenntnisse. Im Nachhinein ist der Grund klar: Die Bildfehler eines Objektivs wirken rund um die Bildmitte, also zur Mitte hin oder im Kreis um sie herum. Ein Gitter aus waagerechten und senkrechten Balken liegt schräg dazu.

Aha-Effekte brachten erst Szenen, die zu dieser Symmetrie passen. Ein Feld aus Lichtpunkten in verschiedenen Entfernungen zeigt die Form der Zerstreuungskreise direkt im Bild:

Den Wirbel als Zahl liefert ein Siemensstern mit Ringen: Die Ringe verwischen nur mit der Unschärfe in Richtung Bildmitte, die Speichen nur mit der Unschärfe im Kreis um sie herum. Aus dem Verhältnis beider lässt sich der Wirbel ablesen, ähnlich wie Sagittal und Meridional im MTF-Chart. Als Poster im Hintergrund steht er aber in einer einzigen Entfernung – eine flache Vorlage, keine 3D-Szene.

Der eigentliche dreidimensionale Siemensstern ist eine Röhre entlang der Blickrichtung. Ihre Wand ist in schwarze und weiße Sektoren geteilt, alle 50 cm läuft ein Ring herum. Im Bild werden die Sektoren zu Speichen, die stetig durch alle Entfernungen laufen, und die Ringe zu Kreisen, jeder in einer anderen Entfernung: außen nah, zur Mitte hin immer ferner. Ein einziges Bild zeigt so Vordergrund, Schärfe und Hintergrund, in beiden Richtungen der Unschärfe.

Dieselbe Röhre mit Ringen aus Lichtpunkten statt Sektoren, alle 25 cm bis in 50 m Tiefe, zeigt die Form der Zerstreuungskreise über die ganze Entfernung:

Und schließlich ein Laubdach mit Himmel und Sonnenreflexen hinter einer scharfen Tafel – das klassische Biotar-Motiv. Diese Szene hat Claude selbst vorgeschlagen und algorithmisch erzeugt: Blätter in Büscheln auf sechs Ebenen zwischen 4 und 20 m, dazwischen Lücken zum hellen Himmel, Sonnenreflexe auf den sichtbaren Blättern und vorn ein unscharfer Zweig. Das Ergebnis finde ich sehr gelungen:

Am Ende stehen wenige Zahlen unter festen Bedingungen, eine Art Steckbrief des Bokehs: Wirbel, Katzenauge, Seifenblasenrand, Doppelkonturen und Farbsäume, jeweils vor und hinter der Schärfe. Die wichtigsten Ergebnisse vorab:

• Beim Biotar ist der Hintergrund bei Offenblende f/2 deutlich gewirbelt, am stärksten zwischen 70 und 90 % der Bildhöhe. Die Katzenaugen schrumpfen dort auf etwa 60 % der Fläche und bekommen einen hellen Saum.
• Im Vordergrund wirbelt es kaum; erst ganz außen, wo die Fassung den Zerstreuungskreis beschneidet.
• Schon bei f/2,8 ist dieser Charakter im Hintergrund fast verschwunden.

Der Steckbrief des Biotar in Zahlen

Hier der Steckbrief des Biotar (Patentrechnung von 1927, als 58 mm gerechnet). Der Zerstreuungskreis in der Bildmitte ist in allen vier Spalten gleich groß, so lassen sich Blenden und Objektive vergleichen:

	f/2 vorn	f/2 hinten	f/2,8 vorn	f/2,8 hinten
Lichtpunkt in	0,74 m	∞	0,55 m	∞
Fokus auf	1,56 m	1,56 m	1,09 m	1,09 m
Swirl-Index bei 70 % · 90 %	+0,01 · +0,14	+0,16 · +0,16	+0,01 · +0,10	+0,04 · +0,01
Katzenauge: Fläche bei 70 % · 90 %	107 % · 85 %	64 % · 60 %	91 % · 75 %	95 % · 100 %
Achsenverhältnis bei 90 %	0,75	0,72	0,82	0,97
Lichtmenge bei 70 % · 90 %	81 % · 65 %	85 % · 67 %	89 % · 80 %	90 % · 84 %
Seifenblase: Rand/Mitte, Bildmitte · 70 %	0,91 · 0,63	0,86 · 2,18	0,71 · 0,64	0,92 · 1,18
Doppelkontur, Bildmitte · 70 %	0,08 · 0,04	0,13 · 0,35	0,10 · 0,02	0,12 · 0,03
Farbsaum (Blau gegen Rot)	−5 %	+7 %	−4 %	+6 %
Querfarbfehler bei 90 %	3 %	3 %	4 %	3 %

So liest man die Zeilen: Prozentangaben zur Bildhöhe beziehen sich auf den Weg von der Bildmitte (0 %) zur Ecke (100 %). Die Fläche des Katzenauges und die Lichtmenge sind auf den Zerstreuungskreis in der Bildmitte bezogen. Ein Achsenverhältnis von 1 heißt rund. Bei der Seifenblase vergleicht die Zahl die Helligkeit am Rand der Scheibe mit ihrem Inneren: über 1 ein heller Saum, unter 1 ein weicher Rand. Die Doppelkontur misst, wie stark das Querprofil einer unscharfen Linie in der Mitte einsinkt – 0 heißt eine Kontur, größere Werte zwei. Beim Farbsaum ist die blaue Scheibe hinter der Schärfe größer als die rote (blauer Rand), davor kleiner. Der Querfarbfehler ist der Versatz zwischen Rot und Blau, gemessen am Zerstreuungskreis.

Dazu kommen zwei Werte, die nur von der Blende abhängen: Durch die sphärische Aberration liegt die schärfste Entfernung etwas vor der eingestellten (0,06 Dioptrien bei f/2, 0,04 bei f/2,8), und Rot wird etwas weiter hinten scharf als Blau (0,04 bis 0,05 Dioptrien) – das Objektiv ist gut farbkorrigiert.

Eine Einschränkung gilt hier wie beim Lens Simulator: Die Patentdaten beschreiben das Biotar 1:1,4 von 1927, nicht das spätere 2/58. Ob die Rechnung das echte Objektiv trifft, müssen Fotos zeigen. Die Testszenen sind deshalb so gewählt, dass man sie nachbauen kann: eine Lichterkette, ein innen bemaltes Rohr, ein Rohr mit Leuchtdioden.

Ein MTF-Chart für die Unschärfe

Obige Bilder zeigen zwar mehr oder weniger anschaulich, wie sich das Bokeh in unterschiedlichen Situationen rechnerisch aus der Linsenkonstruktion ergibt. Aber mir gefällt dabei nicht, dass man sie immer noch interpretieren und erklären muss.

Nehmen wir die Untersuchung der Schärfe als Gegenbeispiel: Dafür gibt es die MTF-Charts, die die Auflösung des Objektivs beschreiben. Eine Linie im oberen Bereich bedeutet hohe Schärfe, ein Abfall nach rechts einen Schärfeverlust zur Ecke hin. Schärfe wird hierbei über die Erhaltung des Kontrastes bestimmt. Ein MTF-Chart ist einfach zu lesen, obgleich die Mathematik dahinter nicht ganz so einfach ist – die Fourier-Transformation ist Stoff aus dem fortgeschrittenen Mathematik-Bachelorstudium.

Ich habe mir überlegt, ob man nicht ein einfaches Analogon, beispielsweise für den Swirl-Effekt, konstruieren kann. Gemessen wird die MTF zwar an Linienpaaren, sie hängt aber direkt mit dem Zerstreuungskreis zusammen. Jedes Bild entsteht durch Faltung des Motivs mit dem Bild eines einzelnen Lichtpunkts, der Punktbildfunktion (englisch Point Spread Function, PSF) – das ist genau das Verfahren ganz oben im Artikel, bei dem jeder Bildpunkt mit seinen Nachbarn überlagert wird. Die MTF ist der Betrag der Fourier-Transformierten dieser PSF, normiert auf 1 für ganz grobe Strukturen:

$I_\text{Bild} = I_\text{Motiv} * \text{PSF} \qquad \text{MTF}(f) = \frac{|\mathcal{F}(\text{PSF})(f)|}{|\mathcal{F}(\text{PSF})(0)|}$

Sie gibt an, wie viel Kontrast bei der Feinheit $f$ (Linienpaare pro Millimeter) übrig bleibt. Für die Schärfe nimmt man die PSF in der Schärfeebene, einen winzigen Lichtfleck. Der Zerstreuungskreis im Unschärfebereich ist ebenfalls eine PSF, nur eine defokussierte und viel größere – und genau die interessiert beim Bokeh. MTF und Swirl-Maß gehen also vom selben Objekt aus, der Helligkeitsverteilung eines abgebildeten Lichtpunkts; sie werten sie nur unterschiedlich aus.

Mein Ansatz war, die Zerstreuungskreise auf dem Weg von der Bildmitte zur Ecke mit dem Zerstreuungskreis in der Bildmitte zu vergleichen und aus der Differenz ein Maß für die Abweichung zu bilden. Claude hat das mathematisch und algorithmisch sauber gefasst; die folgende Ausarbeitung des Maßes stammt zu einem großen Teil von Claude. Eine einzelne Differenzzahl vermischt nämlich Größe, Form, Helligkeitsverteilung und Ausrichtung – man könnte nicht unterscheiden, ob ein Kreis wirbelt, beschnitten wird oder einen hellen Saum bekommt. Deshalb wird zuerst getrennt erfasst, wie stark der Zerstreuungskreis von der Kreisform abweicht und in welche Richtung. Dazu wird seine Breite in zwei Richtungen bestimmt: einmal in Richtung Bildmitte (radial, σ_r) und einmal quer dazu, entlang eines Kreises um die Bildmitte (tangential, σ_t). Die Breite ist dabei nicht der Durchmesser, sondern die Standardabweichung der Lichtverteilung. Dieses Maß erfasst auch weiche Ränder und helle Säume sinnvoll; bei einer gleichmäßig hellen Scheibe ist es ein Viertel des Durchmessers.

Aus beiden Breiten ergibt sich eine einzige Zahl, der Swirl-Index ε = (σ_t − σ_r) / (σ_t + σ_r):

• ε = 0: Der Zerstreuungskreis ist rund.
• ε größer als 0: Er ist quer gestreckt und legt sich um die Bildmitte – das ergibt den Wirbel. Bei ε = +1/3 ist er quer doppelt so breit wie zur Mitte hin.
• ε kleiner als 0: Er ist zur Mitte hin gestreckt, die Unschärfe läuft strahlenförmig nach außen wie bei einem Zoom-Effekt.

Weil das gerechnete Objektiv rotationssymmetrisch ist, hängt das nur von der Bildhöhe ab, also vom Abstand zur Bildmitte; ein reales Exemplar kann durch Fertigungstoleranzen leicht davon abweichen. Zwei Kurven je Bedingung genügen – genau wie Sagittal und Meridional im MTF-Chart.

Damit Blenden und Objektive vergleichbar sind, gelten feste Bedingungen: Der Zerstreuungskreis in der Bildmitte ist immer 3 % der Bilddiagonale groß (beim Kleinbild 1,3 mm). Das Motiv ist jeweils ein einzelner Lichtpunkt. Für den Hintergrund liegt er im Unendlichen, und scharfgestellt wird so, dass er genau diese Unschärfe hat – beim Biotar bei f/2 auf 1,56 m, bei f/2,8 auf 1,09 m. Für den Vordergrund bleibt die Fokuseinstellung gleich, und der Lichtpunkt liegt so weit vor der Schärfe, dass er gleich unscharf ist: 0,74 m bei f/2, 0,55 m bei f/2,8. Alle Entfernungen sind ab der Bildebene gemessen, wie auf der Entfernungsskala des Objektivs. Die Zahlen gelten also für diese festgelegten Testbedingungen – so wie ein MTF-Chart für eine bestimmte Blende und Entfernung gilt –, nicht für jede beliebige Aufnahmesituation.

So ist das Chart aufgebaut und so liest man es:

• Achsen: Waagerecht die Bildhöhe in Millimetern, von der Bildmitte (0) bis zur Ecke (21,6 mm beim Kleinbild). Die linke Spalte zeigt den Hintergrund, die rechte den Vordergrund, die Farben stehen für die Blenden.
• Oben, die Breiten: σ_r durchgezogen, σ_t gestrichelt, beide bezogen auf den Zerstreuungskreis in der Bildmitte (1,0). Liegen beide Linien übereinander, bleibt der Kreis rund. Die farbige Fläche dazwischen zeigt die Abweichung von der Kreisform. Fallen beide unter 1, wird der Kreis kleiner, etwa weil die Fassung ihn beschneidet.
• Mitte, der Swirl-Index: Hier steht die eigentliche Kennzahl. Die senkrechten Linien markieren 50, 70 und 90 % der Bildhöhe, die Tabelle nennt die Werte dort. Eine Kurve oberhalb der Null bedeutet Wirbel, unterhalb Zoom-Effekt.
• Darunter, die Formabweichung D: Hier steckt die ursprüngliche Idee der Differenzbildung: Wie stark sich der Zerstreuungskreis in seiner Form von dem in der Bildmitte unterscheidet – unabhängig von seiner Größe. Dafür werden beide auf dieselbe Lichtmenge gebracht, übereinandergelegt und auf dieselbe mittlere Breite skaliert. D ist dann der Anteil des Lichts, der anders verteilt ist: 0 % heißt gleiche Form, 100 % keine Überdeckung. Diese Zeile erfasst auch, was die Breiten übersehen – einen hellen Saum, der zum Rand hin zunimmt, oder eine einseitige Beschneidung.
• Darunter, die Lichtmenge: Wie viel Licht ein Zerstreuungskreis gegenüber der Bildmitte noch hat. Der Swirl-Index sagt nämlich nichts darüber, ob ein Kreis überhaupt noch sichtbar ist.
• Ganz unten, die Zerstreuungskreise selbst: berechnet bei 0, 30, 50, 70 und 100 % der Bildhöhe, oben f/2, unten f/2,8. Die Bildmitte liegt jeweils links, so wie auf der Achse. Alle Kreise sind im selben Maßstab gezeichnet und jeweils auf ihre hellste Stelle belichtet; wie viel Licht sie tatsächlich haben, zeigt die Zeile darüber. Hier sieht man, was die Zahlen bedeuten: im Hintergrund bei f/2 die schmalen, hochgestellten Ellipsen mit hellem Saum, im Vordergrund die zur Mitte hin gestreckten Kreise, die zur Ecke hin außen von der Fassung gerade abgeschnitten werden.

Für das Biotar liest sich das so: Im Hintergrund wird der Zerstreuungskreis bei f/2 zum Rand hin in Richtung Bildmitte schmaler (σ_r fällt auf etwa zwei Drittel), quer dazu bleibt er fast gleich breit. Der Swirl-Index steigt auf 0,16 bei 70 % der Bildhöhe – das ist der Wirbel. Bei f/2,8 bleibt er unter 0,05, der Hintergrund ist fast ruhig. Im Vordergrund ist es umgekehrt: Bis etwa 15 mm Bildhöhe ist der Index negativ, die Unschärfe läuft also strahlenförmig. Ab etwa 15 mm wird er positiv, weil dort die Fassung den Zerstreuungskreis außen beschneidet. In der Ecke kommt bei f/2 nur noch knapp die Hälfte des Lichts an. Die Formabweichung fasst das zusammen: Bei f/2 ist im Hintergrund ab 70 % der Bildhöhe gut ein Drittel des Lichts anders verteilt als in der Bildmitte, bei f/2,8 nur gut ein Zehntel. Im Vordergrund steigt sie zur Ecke hin auf die Hälfte, weil die Fassung dort fast den ganzen Kreis abschneidet.

Dabei sollte man im Blick behalten, was der Swirl-Index nicht misst. Er isoliert eine einzelne optische Eigenschaft: wie verschieden breit die Zerstreuungskreise in Richtung Bildmitte und quer dazu sind. Den ganzen Bokeh-Charakter beschreibt er nicht. Zwei Kreise mit derselben Streckung können verschieden aussehen, etwa gleichmäßig hell oder mit hellem Saum – dafür sind die Formabweichung und die Zeilen des Steckbriefs da. Und ob man den Wirbel in einem Foto wirklich sieht, hängt auch vom Motiv ab: Er braucht Lichtreflexe oder feine Strukturen im Hintergrund, die er verziehen kann.

Gerechnet sind diese Kurven aus den Zerstreuungskreisen selbst. Dieselben Breiten lassen sich aber auch im Bild messen, etwa an den Ringen und Speichen eines Siemenssterns im Hintergrund. Im gerechneten Bild treffen sie die Werte aus den Zerstreuungskreisen auf wenige Zehntel Pixel. Damit wäre das Swirl-Chart auch an Fotos eines echten Biotar überprüfbar.

Fazit

Mein eigener Versuch mit mathematischer Faltung ging von vereinfachten Zerstreuungskreisen aus. Peter Wey untersucht den Weg durch ein modelliertes Linsensystem. Beide Ansätze entstehen für mich aus derselben Neugier: Ich möchte verstehen, weshalb ein Bild so aussieht, wie es aussieht.

Auf meine Frage nach einem 3D-Testchart habe ich zumindest eine Antwort gefunden: Ein Feld aus Lichtpunkten zeigt die Form der Zerstreuungskreise, der dreidimensionale Siemensstern ihre Unschärfe zur Bildmitte hin und quer dazu über die ganze Tiefe, und das Swirl-Chart fasst das in wenigen Kurven zusammen – lesbar wie ein MTF-Chart.

Durch das Gespräch mit Peter Wey und seinen Lens Simulator bin ich ein gutes Stück tiefer in die Materie eingetaucht und kann das Bokeh, speziell den Swirl, nun besser einschätzen. Was mir vorher schon aufgefallen war, zeigt jetzt auch der Swirl-Index: Der Wirbel liegt in einer Zone um die Bildmitte herum. In der Mitte sind die Zerstreuungskreise rund, ab etwa der halben Bildhöhe werden sie quer gestreckt, am stärksten zwischen 70 und 90 % der Bildhöhe. In der äußersten Ecke lässt der Effekt wieder etwas nach, und dort kommt auch deutlich weniger Licht an.

Dabei kommt es nicht nur auf Größe und Form des Zerstreuungskreises an, sondern auch auf seine Helligkeitsverteilung. Ein Zerstreuungskreis mit hellem Zentrum wirkt de facto wie ein kleinerer und bildet schärfer ab als ein gleichmäßig ausgeleuchteter. Einer mit hellem Saum wirkt dagegen größer und zeichnet Kanten doppelt.

Bokeh bleibt dabei eine Frage des persönlichen Geschmacks. Seine Ursachen und die Bedingungen, unter denen es sich zeigt, lassen sich untersuchen. Der Lens Simulator bietet dafür eine experimentelle Umgebung. Wie gut ich seine Ergebnisse fotografisch nutzen kann, hängt auch davon ab, wie gut ich lerne, sie zu lesen.